Seja a função

f ( x ) = x 3 - 1 x + x 4

Determine o domínio e imagem de f ( x ) , bem como as ass ́ıntotas horizontais e verticais

do gráfico de f ( x ) (se existirem).

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.Determine o domínio e imagem de f ( x ) , bem como as ass ́ıntotas horizontais e verticais do gráfico de f ( x ) (se existirem).

Onde

f ( x ) = x 3 - 1 x + x 4

Vamos nessa

Passo 2

Bem, vamos começar determinando o domínio da

f ( x ) = x 3 - 1 x + x 4

Quem é o domínio de uma função? São todos os valores de x para os quais aquela função está bem definida. Para a nossa função f , onde poderíamos ter algum problema na definição da função? Ora, seria nos pontos onde o denominador de

1 x + x 4

é zero, pois essa divisão não é definida.

E quando isso ocorre? Isto é quando

x + x 4 = 0

Ocorre quando

x = - 1 ,   o u   x = 0

Dessa forma, a nossa função tem domínio

R - { - 1,0 }

Passo 3

Agora, vamos verificar a imagem de f . Quem é a imagem? São todos os valores retornados pela nossa função. E aí? qual será essa imagem? Bem como

f ( x ) = x 3 - 1 x + x 4

Vamos calcular seus limites no infinito

l i m x → ∞ f ( x ) = l i m x → ∞ x 3 - 1 x + x 4

= ∞

E temos que

l i m x → - ∞ f ( x ) = l i m x → - ∞ x 3 - 1 x + x 4

= - ∞

Ou seja, a nossa função cresce de forma ilimitada. Logo sua imagem será os Reais.

E de quebra, já descobrimos que essa função não tem assíntotas horizontais. Mas será que tem verticais?

Passo 4

Bem, como identificamos as assíntotas verticais? Elas costumam ocorrer quando a nossa função tem algum valor onde o denominador é zero. Ora, mas já encontramos esses pontos no passo 2, que são os pontos

x = - 1 ,   o u   x = 0

Ou seja, as assíntotas verticais são

x = - 1 ,   o u   x = 0

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0