UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 6.2.5
Para cada , seja a região limitada pelo gráfico de , o eixo e a reta . Se é o volume obtido girando em torno do eixo , e é o volume do sólido obtido girando-se em torno do eixo , determine .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular , sabendo que é o volume obtido girando em torno do eixo e que é o volume do sólido obtido girando-se em torno do eixo . A região é dada pelo gráfico de , o eixo e a reta , com , então a região tá no primeiro quadrante.
Pra determinar e , precisamos lembrar que quando temos uma região rotacionando em torno do eixo , usamos a integral na forma:
E quando nossa região rotaciona em torno do eixo , usamos:
Isso porque a variável independente tem que ser a mesma do eixo em torno do qual nós fazemos a rotação. Usando o resultado dessas integrais, nós conseguimos calcular o limite, fazendo tender a infinito.
Vamos lá!
Passo 2
Sabendo que nossa região é limitada por , e , e usando a fórmula do cálculo do volume de rotação em torno do eixo , vamos ter:
Usando a regrinha da potência na integração, temos:
Aplicando o intervalo de integração:
Da mesma forma, fazendo a nossa região girar em torno do eixo , vamos apenas colocar a função como uma função de e escrever a integral de volume:
Integrando e aplicando os limites de integração, temos:
Passo 3
Agora, com e , podemos escrever o limite:
Dividindo todos os termos por , vamos ter:
Assim, quando , temos . E o nosso resultado será:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉