UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 3, Questão 2a
Calcule o volume obtido ao girar a região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo :
a) , , , . ;
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região entre as curvas , e as retas , em torno do eixo . A região que iria rotacionar seria então essa daqui em amarelo:
Pelo método dos anéis, nós sabemos que dá pra gente girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo (a função que está acima, ) e o raio interno (a função que está abaixo, .). Assim, o volume será dado por:
No nosso caso, e . O intervalo é dado pelas retas e , que limitam nossa região horizontalmente. Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.
Vamos lá!
Passo 2
Montando nossa integral de volume, temos:
Como a integral da soma é igual a soma das integrais, podemos separar:
Abrindo os produtos:
E agora podemos integrar em relação a para obter:
Aplicando os intervalos de integração:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉