Calcule o volume V obtido ao girar a região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo L :

a) R: y = x^2 + 4 , y = 2 , x = 1 , x = 3 . L: o eixo X ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região entre as curvas y = x 2 + 4 , y = 2 e as retas x = 1 , x = 3 em torno do eixo x . A região que iria rotacionar seria então essa daqui em amarelo:

Pelo método dos anéis, nós sabemos que dá pra gente girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo [ a ,   b ] . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo (a função que está acima, f ( x ) ) e o raio interno (a função que está abaixo, g ( x ) .). Assim, o volume será dado por:

V = ∫ a b ( π f x 2 - π g x 2 ) d x

No nosso caso, f x = x 2 + 4 e g x = 2 . O intervalo é dado pelas retas x = 1 e x = 3 , que limitam nossa região horizontalmente. Então, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral de volume, temos:

V = ∫ 1 3 ( π x 2 + 4 2 - π 2 2 ) d x

Como a integral da soma é igual a soma das integrais, podemos separar:

V = ∫ 1 3 π x 2 + 4 2 d x - ∫ 1 3 π 2 2 d x

Abrindo os produtos:

V = π ∫ 1 3 x 4 + 8 x 2 + 16 d x - π ∫ 1 3 4 d x

E agora podemos integrar em relação a x para obter:

V = π x 5 5 + 8 x 3 3 + 16 x 1 3 - π 4 x 1 3

Aplicando os intervalos de integração:

V = π 243 5 + 72 + 48 - 1 5 - 8 3 - 16 - π ( 12 - 4 )

V = π 2246 15 - 8

V = 2126 15 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 2126 15 π

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