Calcule o volume da região acima do cone z = raiz(x² + y²) e dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 .

Passo 1

Olá meu caro amigo, como está? Agora iremos calcular o volume de uma região dada, para isso iremos utilizar a integração tripla, mas iremos parametrizar tudo direitinho para que não tenhamos muitos problemas com a integração. Antes de tudo vamos começar visualizando a região que iremos integrar.

A dita cuja nada mais é do que a região do cone dentro da circunferência, então é um cone com uma cabecinha da circunferência. Uma parametrização adequada é a,

x = ρ cos ⁡ φ cos ⁡ θ y = ρ cos ⁡ φ sin ⁡ θ z = ρ sin ⁡ φ

∂ x , y , z ∂ ρ , θ , φ = ρ 2 cos ⁡ φ

tan ⁡ φ = z r

φ = π 4

0 ≤ ρ ≤ a

π 4 ≤ φ ≤ π 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

O volume é calculado por

∫ ∫ ∫ C   d V

= ∫ ∫ ∫ d x d y d z

= ∫ ∫ ∫ ∂ x , y , z ∂ ρ , θ , φ d ρ d θ d φ

Colocando os limites da integração

= ∫ 0 2 π ∫ π 4 π 2 ∫ 0 a   ρ 2 cos ⁡ φ d p d φ d θ  

= ∫ 0 2 π d θ ∫ π 4 π 2 cos ⁡ φ d φ ∫ 0 a   ρ 2

= 2 π sin ⁡ π 2 - sin ⁡ π 4 ∙ 1 3 a 3 = 2 π 1 - 2 2 ∙ 1 3 a 3

= a 3 π 3 ( 2 - 2 )

Resposta

= a 3 π 3 ( 2 - 2 )

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