Calcule o volume do sólido obtido quando fazemos a rotação no eixo y   da região entre o gráfico de y   =   x 2   +   1 e o eixo x , com x   ∈   [ 0 ,   2 ].

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa curva

y   =   x 2   +   1

E pediu o volume do sólido formado pela rotação dela em torno do eixo y , que tem equação x = 0 .

Pergunta de milhões: Como achar esse volume?

O volume de rotação em torno do eixo x é

V = π   ∫ a b f y 2 - g y 2 d y  

Onde f é a função que está mais à direita e g a mais à esquerda. E a , b são os limites de integração do sólido. Ou onde as curvas se encontram!

Belê?

A ideia é fazer um esboço, ver os limites, tascar na fórmula e calcular a integral!

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

As curvas são

y = x 2 + 1 → x = y - 1

x = 0

0 ≤ x ≤ 2

Um esboço fica assim

Precisamos separar nossa integral em duas:

0 < y < 1

E o integrando

2 2 - 0 2 = 4

E também

1 < y < 5

E o integrando

2 2 - y - 1 2 = 4 - y + 1 = 3 - y

Beleza?

Assim nossas integrais são

π ∫ 0 1 4 d y + π ∫ 1 5 3 - y d y

Agora nossa missão é resolver a integral!

Passo 3

Calculando o volume temos

V = π ∫ 0 1 4 d y + π ∫ 1 5 3 - y d y

V = π 4 y 0 1 + 3 y - y 2 2 1 5 = π 4 + 3.5 - 25 2 - 3.1 + 1 2

E por fim

= π 4 + 15 - 3 - 24 2 = π 19 - 15 = 4 π

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

4 π

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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d