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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 5.6a

Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto

  1. A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x y ≤ 2 ,   x 2 + y 2 ≤ 5   e   x > 0 .
  2. A = x , y ∈ R 2 : y ≥ x   e   x - 1 2 + y 2 ≤ 1 .
  3. A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2   e   e - x ≤ y ≤ e x .
  4. A = { x , y ∈ R 2 : x < 0 ,   y ≤ 1   e   1 / x   ≤ y ≤ 4 / x 2 } .

Passo 1

Para determinar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto

A   =   { x ,   y ∈ R 2 :   0 ≤   x y ≤   2 ,   x 2 +   y 2 ≤   5 ,   e   x   >   0 }

podemos usar o método de integração em coordenadas cilíndricas.

Primeiro, vamos analisar o conjunto A e suas restrições.

A condição ( 0 ≤   x y ≤   2 ) define um setor de um hiperboloide no primeiro quadrante do plano x y   onde x   e   y são ambos positivos.

A condição ( x 2   +   y 2 ≤ 5 ) define um círculo de raio ( 5 ) centrado na origem.

Portanto, a interseção dessas duas regiões é a região limitada pelo círculo e pelo setor do hiperboloide.

Agora, vamos escrever as coordenadas cilíndricas em termos de \(x\) e \(y\):

[ x   =   r   c o s θ ]

[ y - r sin ⁡ θ ]

As restrições ( 0 ≤   x y ≤   2 )   e   ( x 2   +   y 2 ≤ 5 ) em termos de coordenadas cilíndricas se tornam:

[ 0   ≤ r 2 c o s θ ⋅ r s i n θ ≤ 2 ]

r 2 ≤ 5

Passo 2

Simplificando a primeira desigualdade:

[ 0   ≤ r 3 c o s θ s i n θ ≤ 2 ]

Portanto, temos uma limitação para r   dada por ( 0 ≤ r ≤ 2 / ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) 3 .

A segunda desigualdade, ( r 2 ≤   5 ) nos diz que 0 ≤   r ≤ 5

Agora, podemos escrever o integral triplo em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:

V   =   ∭ A d V = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 3 ∫ 0 5 r d r d z   d θ

Passo 3

Resolvendo as integrais:

V = 1 2 ∫ 0 π 2 r 2 2 0 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 3   5   d θ

V = 1 2 ∫ 0 π 2 2 3 1 cos ⁡ θ sin ⁡ θ   5 d θ

V = 1 3 ∫ 0 π 2   5 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Passo 4

Agora, podemos utilizar uma identidade trigonométrica: sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ   e csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ ,

para simplificar a expressão:

V = 1 3 ∫ 0 π 2   5 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

V = 1 3 ∫ 0 π 2 5 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

V = 1 3 5 ∫ 0 π 2 sin ⁡ ( 2 θ )   2 d θ

V = 1 6 5 ∫ 0 π 2 sin ⁡ ( 2 θ ) d θ

V = 1 6 5   - cos ⁡ 2 θ 2 0 π / 2

V = 1 12 5 1 - - 1

V = 1 6 5

Agora, vamos multiplicar pelo fator π para obter a resposta final:

V = 1 6 5 π = 5 π 6 = 10 5 - 2 3 π

Resposta

10 5 - 2 3 π

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