Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto

,

vamos usar o método de integração em coordenadas cilíndricas.

Primeiro, vamos entender as condições dadas para o conjunto

1. define a região acima da curva no primeiro quadrante.

2. define um círculo de raio 1 centrado em

A interseção dessas duas condições resulta em uma região limitada pelo círculo e pela curva

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A, que é definido pelas condições:

Podemos utilizar o método de integração em coordenadas cilíndricas para resolver esse problema. Antes de prosseguir com o cálculo do volume, é importante visualizar a interseção dessas duas condições, que resulta em uma região limitada pelo círculo e pela curva

A condição 1 nos diz que estamos considerando apenas a região acima da curva no primeiro quadrante. Isso implica que x deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não é definida no conjunto dos números reais.

A condição 2 nos diz que estamos limitados por um círculo de raio 1 centrado em (1,0). Portanto, a parte da região acima da curva que está fora desse círculo não contribuirá para o volume do sólido rotacionado.

Ao visualizar essa interseção, podemos imaginar que estamos considerando apenas a parte da curva que está contida no círculo de raio 1 centrado em (1,0). Essa é a região que será rotacionada em torno do eixo x para calcular o volume do sólido desejado.

Agora que entendemos a região de interesse, podemos prosseguir com o cálculo do volume utilizando coordenadas cilíndricas.