UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 2ª Lista, Questão 12
Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
Sólido contido no cone , limitado pela esfera de centro (0, 0, 2) e raio 2.
Passo 1
Para calcular o volume do sólido contido no cone e limitado pela esfera de centro e raio , você pode usar uma integral tripla. Vamos fazer isso passo a passo.
Precisamos encontrar os limites de integração para em termos das coordenadas esféricas, já que a esfera é dada em coordenadas esféricas.
As coordenadas esféricas são geralmente denotadas por , onde:
- é a distância do ponto ao centro da esfera (neste caso, , substituindo os valores encontramos ).
- é o ângulo em relação ao eixo .
- é o ângulo em relação ao eixo .
Passo 2
Para encontramos devemos calcular a intersecção das superfícies,
Então elas se encontram no plano . A sua projeção no plano xy é
Então agora temos que
Como iremos dar toda uma volta para ‘ler’ nosso solido, então . Agora iremos montar e calcular nossa integral. Lembre-se que por estarmos mudando para coordenadas esféricas temos como jacobiano
Passo 3
Chamando de e os nossos novos limites de integração acabam sendo e
E nossa integral se torna
Agora para última integração