UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 6.3.1
Suponha que dois ciclistas estão correndo com a mesma velocidade escalar, ambos partindo, ao mesmo tempo, do ponto . Sabendo que o ciclista percorre o arco de circunferência e o ciclista percorre o arco da curva para . Qual deles chegará primeiro ao ponto ?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado quer que a gente determine qual dos ciclistas vai chegar primeiro no ponto , sabendo que o primeiro vai pelo caminho e o segundo vai pelo caminho , ambos partindo de .
Então, a gente precisa determinar qual o caminho menor. Pra fazer isso, precisamos saber o comprimento das curvas que os dois percorrem. Por definição, o comprimento de uma curva é dado por:
Então, vamos derivar as equações das curvas, substituir na integral e comparar os dois resultados pra ver qual o caminho menor.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando , usando a regra da cadeia:
Elevando ao quadrado e somando o resultado com , temos:
Então, substituindo na integral do comprimento de arco, vamos ter:
Se a gente chamar , teremos:
Pra conseguir sair dessa raiz no denominador da fração, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, fazendo , de modo que . Assim:
Usando , temos:
Integrando em relação a :
Mas nosso ciclista parte de até , então nosso intervalo de integração vai de até :
Lembrando que nós definimos e , então . Assim, aplicando os intervalos de integração, temos:
Passo 3
Agora vamos ver o comprimento do caminho percorrido pelo ciclista , que é descrito na função . Derivando, usando a regra da cadeia, temos:
Substituindo na integral do comprimento de arco, temos:
Usando a identidade trigonométrica :
Integrando, vamos ter:
Aplicando os intervalos de integração:
Pela propriedade de logaritmo:
Então, o ciclista percorre e o ciclista percorre . Como o percusso do ciclista é menor, ele chega primeiro ao ponto .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉