O volume da região limitada pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo cilindro x 2 + y y 2 = 2 y com z ≥ 0 , x ≥ 0 pode ser calculado usando coordenadas cilíndricas por

∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 r r d z d r d θ

Passo 1

Beleza meu amigo? Aqui a gente não vai precisar resolver uma integral, iremos apenas analisar a sua estrutura, passar para coordenadas cilíndricas e depois encontrar os limites de integração. As coordenadas cilíndricas são

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

x 2 + y 2 = r 2

Passo 2

Vamos substituir no cilindro e ver o que encontramos

r 2 = 2 r sin ⁡ θ

r = 2 sin ⁡ θ

Tomando a vista superior de nossa região

Notamos que o ângulo 0 ≤ θ ≤ π

Resposta

b)

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