UFES, 2018.1, Lista 6, Q07
07) Determine e de modo que seja diferenciável.
Passo 1
Eaí gente bonita! Vamo matar mais uma questão?
Esse exercício pede pra gente determinar duas constantes e , de modo que a função seja diferenciável.
A primeira coisa que devemos perceber é que é definida em duas partes e que ambas são diferenciáveis (monômios e polinômios sempre são diferenciáveis). Isso significa que também será diferenciável em todos os pontos, com exceção de , porque é onde ocorre a troca da lei de formação da função. Nesse ponto, a função pode ser diferenciável ou não. Mas nesse caso, queremos que seja!
Então, a nossa missão é determinar e de modo que seja diferenciável em .
E como fazemos isso??
Bom, a derivada de uma função em um ponto é dada pelo seguinte limite:
Então, para que seja diferenciável em , é necessário que os limites laterais abaixo sejam finitos e iguais:
Passo 2
Hora das contas!! Vamos começar calculando o limite pela direita:
Beleza, então o limite lateral à direita vale . Daí, pra ser diferenciável, precisamos que o limite lateral à esquerda também valha .
Nesse ponto a gente dá uma travada, porque não dá pra resolver esse limite só com essas informações. Precisamos então lembrar da negativa do nosso teorema de diferenciabilidade e continuidade.
Passo 3
Pensa comigo, o teorema diz que:
“Se é diferenciável em um ponto , então também é contínua nesse ponto.”
Logo, a negativa desse teorema, vai dizer que:
“Se não é contínua em um ponto , então não é diferenciável nesse ponto.”
Massa, usando essa negativa, percebemos que precisa ser contínua em para que ela pelo menos possa ser diferenciável (é apenas uma condição necessária, mas não suficiente).
Então, para ser contínua devemos ter que:
Resolvendo os limites:
Opa, muito bom, descobrimos uma nova relação:
Agora, voltando no nosso limite ali do passo 2:
Substituindo a nova relação:
E como precisa ser igual ao resultado pela direita, então esse limite é igual a , lembra?
Excelenteee!!!
Temos que:
Prontinho! 😊
Para ser diferenciável precisamos ter e .