USP– Cálculo 1 – Lista 5 – Questão 6Parte1
Parte 1: Mostre que é derivável em e calcule
Parte 2: Esboce o gráfico de
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui
E faz uma afirmação:
Ela é derivável em
E agora, como mostrar isso?
Quando temos uma função definida por partes, para que ela seja derivável ela precisa ser contínua no ponto de ‘quebra’ e a derivada nesse ponto precisa valer a mesma coisa!
Sendo assim a ideia é primeiro verificar que ela é contínua. Depois disso determinar a derivada de cada uma das partes e verificar que no ponto elas valem a mesma coisa! Se ela já falhar na continuidade, então já podemos parar por aqui, pois uma função não diferenciável é necessariamente uma função não contínua! (o contrário não é verdadeiro heim, fica ligado)
Beleza?
Bora lá!
Passo 2
Verificando a continuidade:
Antes de
Depois de
Então sim, essa função é contínua!
Belezinha?
Passo 3
Agora vamos verificar a derivada! Sabemos que a derivada de uma função do tipo é
Daí a derivada das partes da nossa função fica
E em torno de a derivada precisa ser o mesmo valor! Bora testar? Antes:
Depois:
Beleza! Temos que a derivada nesse ponto também vale a mesma coisa! Isso significa que a função é diferenciável!
E é isso! Até a próxima!