Verifique se a função

g x = 1 + x 2 ,     x ≤ 1 - x + 3 ,     x > 1

Tem derivada em x = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... para que a função tenha derivada em x = 1 é necessário que a derivada para x → 1 - ( x tendendo a 1 pelos números à esquerda de 1 ) seja igual a x → 1 + ( x tendendo a 1 pelos números à direita de 1 ).

Dessa forma, devemos calcular a derivada para ambas as situações ( x ≤ 1 e x > 1 ) e verificar o limite para x → 1 - e x → 1 + .

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, para x   ≤   1 , temos g ( x )   =   1   +   x 2 , e sua derivada é:

g ' ( x )   =   2 x

E, por outro lado, para x   >   1 , temos g ( x )   =   - x   +   3 , e sua derivada é:

g ' ( x )   =   - 1

Agora, vamos calcular os limites das derivadas quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.

Passo 3

Dessa forma, para o limite da derivada à esquerda:

lim x → 1 - ⁡ 2 x =

= 2 * 1 ∴

= 2

Já para o limite da derivada à direita, temos:

lim x → 1 + ⁡ - 1 =

= - 1

Como o limite da derivada à esquerda é diferente do limite da derivada à direita, concluímos que a função g ( x ) não é diferenciável em x   =   1 .

Portanto, a função não possui derivada nesse ponto.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função não possui derivada nesse ponto.

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