Considere a função

f x = 3 - x 2 ,   s e   x < 1 1 x ,   s e   x ≥ 1

A função f é diferenciável em x 0 = 1 ? É contínua em x 0 = 1 ?

Passo 1

Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?

Vamos partir do conceito de diferenciabilidade e continuidade. Para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.

Uma coisa que deve lembrar SEMPRE: Funções que NÃO SÃO CONTÍNUAS em um certo ponto, AUTOMATICAMENTE TAMBÉM NÃO SÃO DIFERENCIÁVEIS NESSE PONTO. Agora, se a função for contínua ela pode ou não ser diferenciável.

Passo 2

Note que temos uma função onde ela tem duas leis de formação dependendo do tipo de intervalo que estivermos escolhendo. Nesse caso, estamos avaliando em x 0 = 1 , ou seja, f x = 1 x

Note que ao substituirmos x = 1 , temos que f x = 1 , ou seja, ela existe!!! Então isso é uma função contínua. Agora vem o rolê, se ela é contínua, ela pode ser diferenciável ou não. Precisamos analisar. E esse critério será o seguinte: Fazer x se aproximar de um valor qualquer pelas laterais, e esse valor precisa ser diferente de ±   ∞ . De forma matemática:

f a + = f a - ≠ ± ∞

Passo 3

Agora vamos fazer as aproximações pelas laterais. Bora escolher x = 1 porque esse é um ponto crítico, que é o momento em que há mudança na lei de formação da função.

lim x → 1 + ⁡ 1 x = 1

lim x → 1 - ⁡ 3 - x 2 = 2 2 = 1

Opa, tivemos o mesmo resultado e diferente de infinito, logo a função também é diferenciável em x = 1 .

Resposta

f ( x ) é diferencial e contínua

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