UFRJ – Cálculo 1 – Lista 3 – Questão 6
Considere a função
A função é diferenciável em É contínua em
Passo 1
Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?
Vamos partir do conceito de diferenciabilidade e continuidade. Para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.
Uma coisa que deve lembrar SEMPRE: Funções que NÃO SÃO CONTÍNUAS em um certo ponto, AUTOMATICAMENTE TAMBÉM NÃO SÃO DIFERENCIÁVEIS NESSE PONTO. Agora, se a função for contínua ela pode ou não ser diferenciável.
Passo 2
Note que temos uma função onde ela tem duas leis de formação dependendo do tipo de intervalo que estivermos escolhendo. Nesse caso, estamos avaliando em , ou seja,
Note que ao substituirmos , temos que , ou seja, ela existe!!! Então isso é uma função contínua. Agora vem o rolê, se ela é contínua, ela pode ser diferenciável ou não. Precisamos analisar. E esse critério será o seguinte: Fazer se aproximar de um valor qualquer pelas laterais, e esse valor precisa ser diferente de . De forma matemática:
Passo 3
Agora vamos fazer as aproximações pelas laterais. Bora escolher porque esse é um ponto crítico, que é o momento em que há mudança na lei de formação da função.
Opa, tivemos o mesmo resultado e diferente de infinito, logo a função também é diferenciável em
Resposta
é diferencial e contínua