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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2a

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(a) f x = sin ⁡ x + 1 2 x + 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ x + 1 2 x + 2 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Além disso, podemos observar que a função interna é dada por um produto de duas outras funções, então para a derivada da função interna temos que aplicar a regra do produto...

h x = p x · q x → h ' x = p ' x · q x + p x · q ' x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ x + 1 2 x + 2 , então h x = x + 1 2 x + 2 e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d x + 1 2 x + 2 d x · d sin ⁡ h x d h x

Aplicando a regra do produto para a derivada de h x ...

f ' x = d x + 1 2 d x · x + 2 + x + 1 2 · d x + 2 d x · d sin ⁡ h x d h x

f ' x = d x 2 + 2 x + 1 d x · x + 2 + x + 1 2 · d x + 2 d x · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x por uma variável qualquer u na derivada de sin ⁡ h x para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 2 + 2 x + 1 d x · x + 2 + x + 1 2 · d x + 2 d x · d sin ⁡ u d u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 2 x + 2 · x + 2 + x + 1 2 · 1 · cos ⁡ u

f ' x = 2 x + 2 x + 2 + x + 1 2 cos ⁡ u

Voltando u para x + 1 2 x + 2 ...

f ' x = 2 x 2 + 6 x + 4 + x 2 + 2 x + 1 cos ⁡ x + 1 2 x + 2

f ' x = 4 x 2 + 8 x + 5 cos ⁡ x + 1 2 x + 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 4 x 2 + 8 x + 5 cos ⁡ x + 1 2 x + 2

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