- Considere a função dada por
- Mostre que se é diferenciável em e calcule
- Usando o fato que é diferenciavel em todos os pontos de , calcule para cada e mostre que a função não é continua em .
Passo 1
- Oi, galerinha! Tudo bom? Para mostrar que ela é diferenciavel em , vamos aplicar a definição
- Para mostrar que é diferenciavel vamos aplicar a regra do produto para qualquer .
Onde . Logo:
Subsituindo
Então agora temos esse limite para resolver!
Passo 2
Para resolver esse limite vamos usar o Teorema do Confronto! Lembra que a função seno é limitada?
Mas o nosso limite tem um multiplicando o nosso seno, então vamos multiplicar ali também
Agora vamos calcular os limites das pontas, se eles forem iguais, significa que meu limite do meio também é
Logo,
Ou seja, .
Passo 3
Fica assim,
Derivando,
Para derivar a parte seno, vamos aplicar a regra da cadeia,
Juntando tudo,
Deste modo,
Porém, como não existe. Temos que não é continua em .
Resposta
No texto
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Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .