- Considere a função dada por
- Mostre que se é diferenciável em e calcule
- Usando o fato que é diferenciavel em todos os pontos de , calcule para cada e mostre que a função não é continua em .
Passo 1
- Oi, galerinha! Tudo bom? Para mostrar que ela é diferenciavel em , vamos aplicar a definição
- Para mostrar que é diferenciavel vamos aplicar a regra do produto para qualquer .
Onde . Logo:
Subsituindo
Então agora temos esse limite para resolver!
Passo 2
Para resolver esse limite vamos usar o Teorema do Confronto! Lembra que a função seno é limitada?
Mas o nosso limite tem um multiplicando o nosso seno, então vamos multiplicar ali também
Agora vamos calcular os limites das pontas, se eles forem iguais, significa que meu limite do meio também é
Logo,
Ou seja, .
Passo 3
Fica assim,
Derivando,
Para derivar a parte seno, vamos aplicar a regra da cadeia,
Juntando tudo,
Deste modo,
Porém, como não existe. Temos que não é continua em .
Resposta
No texto