UFES, Cálculo I, Lista 8, 2018.1, questão 7a
Seja , .
(a) Dê os pontos onde é duas vezes diferenciável e determine e .
Passo 1
Faaaaala, galeeeera! Tranquilo por aí?
Nessa questão temos uma função modular que devemos determinar os pontos em que ela é diferenciável e também calcular sua derivada primeira e segunda, ou seja, derivar a função duas vezes. Vamos juntos e você vai perceber que é mais tranquilo do que parece, beleza?
Primeiramente vamos abrir o modulo, ou seja, vamos determinar onde a função é positiva e onde a função é negativa.
As raízes da função que está dentro do módulo são:
Logo, temos
Passo 2
Vamos agora usar a definição de derivada para calcular o limite nos pontos de mudança na lei de formação da função.
Para pela esquerda:
Para pela direita:
Para pela esquerda:
Para pela direita:
Note que os limites laterais são distintos. Logo, temos no gráfico da função um “bico”. Nesses pontos a derivada não existe. Dessa forma, função é duas vezes diferenciável quando e .
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas primeira e segunda da função.
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Prontinhoooo! Finalizamos!
Resposta
É duas vezes diferenciável quando e .