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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 14

14. Determine a e b reais para que a função f dada por f ( x ) = a x + b ,     s e   x < 2 2 x 2 - 1 ,     s e   x ≥ 2 seja derivável em 2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma função definida por partes onde para x < 2 f x = a x + b e para x < 2 f x = 2 x 2 - 1 .

Nosso objetivo é determinar os valores de a e b de modo que a função f seja derivável em 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Primeiro podemos definir o valor de a igualando as derivadas das partes de f em x = 2 . Isso porque sabemos que a derivada de uma função em um ponto resulta no seu coeficiente angular, portando os coeficientes angulares de f nas duas partes tem que ser iguais para f ser derivável.

E por último, igualamos as duas partes de f em x = 2 para obter o valor de b .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Se f ( x ) = a x + b ,     s e   x < 2 2 x 2 - 1 ,     s e   x ≥ 2 , calculando a derivada de f pelo método de derivação polinomial

f x = a x + b ,     s e   x < 2 2 x 2 - 1 ,     s e   x ≥ 2 → f ' ( x ) = a 1 x 1 - 1 + b 0 ,     s e   x < 2 2 2 x 2 - 1 - 1 0 ,     s e   x ≥ 2

f ' ( x ) = a ,     s e   x < 2 4 x ,     s e   x ≥ 2

Igualando as duas partes e fazendo x = 2

a = 4 x → a = 4 2

a = 8

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora com o valor de a obtido, vamos voltar para f x e igualar as duas partes

f x = 8 x + b ,     s e   x < 2 2 x 2 - 1 ,     s e   x ≥ 2

8 x + b = 2 x 2 - 1

Fazendo x = 2

8 2 + b = 2 2 2 - 1 → 16 + b = 8 - 1

b = - 9

Portanto, finalmente obtemos f como

f x = 8 x - 9 ,     s e   x < 2 2 x 2 - 1 ,     s e   x ≥ 2

Ou seja, para f ser derivável, a = 8 e b = - 9 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f x = 8 x - 9 ,     s e   x < 2 2 x 2 - 1 ,     s e   x ≥ 2

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