USP– Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 3.3
Sejam e funções deriváveis em um intervalo aberto e
Mostre que é derivável em se e somente se e . Construa contraexemplos removendo uma das condições de cada vez
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função definida por partes
e pede para mostrarmos que é derivável no ponto se
E
Ou seja, a função nesse ponto deve valer o mesmo valor, assim como suas derivadas
e pediu contraexemplos
Mas espera aí! Vamos olhar essa função aqui com
a ideia aqui é analisar ela e para quais valores de e nos dá um derivável
E quaisquer outros valores das constantes, nossa função teste não será derivável
Tranquilo? Agora bora resolver!
Bora lá!
Passo 2
Nossa função
para ela ser contínua, ela precisa valer o mesmo valor pelos dois lados de
Agora para que ela seja derivável, as derivadas em também tem que valer o mesmo valor, daí temos
E daqui tiramos o
Beleza? Quaisquer um desses valores diferentes e teremos uma função não derivável
E é isso! Até a próxima!