USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 3.24
Prove que:
a. Se f é derivável em , então | f(x)| é derivável em , desde que f() ≠0. Dê um contra-exemplo no caso em que f() = 0.
b. Não é possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que provar as seguintes afirmações:
a. Se f é derivável em , então |f(x)| é derivável em , desde que f() ≠0. Dê um contra-exemplo no caso em que f() = 0.
b. Não é possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0
Então, para responder essas questões, vamos analisar os limites laterais, no caso da função modular, para verificar se a função é contínua no ponto em questão, e também vamos calcular as derivadas envolvidas, utilizando a regra da cadeia se necessário. Vamos lá!
Passo 2
Olhando para a primeira afirmação
a. Se f é derivável em , então |f(x)| é derivável em , desde que f() ≠0. Dê um contra-exemplo no caso em que f() = 0.
Temos que a derivada de uma função no ponto existe se os seus limites laterais existirem e forem iguais. Sendo f() ≠0, então não haverá troca de sinal nos limites laterais da função modular de que é o que faz com que ela seja descontínua e não derivável. Então, nessas condições a derivada da função modular deve existir no ponto .
Um contra-exemplo é a função =|x| no ponto , pois o limite lateral esquerdo dessa função é -1 e o limite lateral direito dessa função é 1. Portanto, a derivada de =|x| não existe para .
Passo 3
Olhando para a segunda afirmação:
b. Não é possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.
Se temos
Então, derivando dos dois lados com relação a x, temos
Essa relação deve ser válida para todo x, mas como , temos que para x=0
ela não é válida, então provamos que não podemos escrever
para , e e deriváveis.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
No decorrer da questão.