Prove que:

a. Se f é derivável em x 0 , então | f(x)| é derivável em x 0 , desde que f( x 0 ) ≠0. Dê um contra-exemplo no caso em que f( x 0 ) = 0.

b. Não é possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que provar as seguintes afirmações:

a. Se f é derivável em x 0 , então |f(x)| é derivável em x 0 , desde que f( x 0 ) ≠0. Dê um contra-exemplo no caso em que f( x 0 ) = 0.

b. Não é possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0

Então, para responder essas questões, vamos analisar os limites laterais, no caso da função modular, para verificar se a função é contínua no ponto em questão, e também vamos calcular as derivadas envolvidas, utilizando a regra da cadeia se necessário. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a primeira afirmação

a. Se f é derivável em x 0 , então |f(x)| é derivável em x 0 , desde que f( x 0 ) ≠0. Dê um contra-exemplo no caso em que f( x 0 ) = 0.

Temos que a derivada de uma função no ponto x 0 existe se os seus limites laterais existirem e forem iguais. Sendo f( x 0 ) ≠0, então não haverá troca de sinal nos limites laterais da função modular de f , que é o que faz com que ela seja descontínua e não derivável. Então, nessas condições a derivada da função modular deve existir no ponto x 0 .

Um contra-exemplo é a função f   ( x ) =|x| no ponto x 0 = 0 , pois o limite lateral esquerdo dessa função é -1 e o limite lateral direito dessa função é 1. Portanto, a derivada de f   ( x ) =|x| não existe para x 0 = 0 .

Passo 3

Olhando para a segunda afirmação:

b. Não é possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.

Se temos

x = f   ( x ) g ( x )

Então, derivando dos dois lados com relação a x, temos

1 = f '   ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Essa relação deve ser válida para todo x, mas como f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 , temos que para x=0

f '   ( 0 ) 0 + 0 g ' ( 0 ) = 0

ela não é válida, então provamos que não podemos escrever

x = f   ( x ) g ( x )

para f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 , e f e g deriváveis.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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