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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 3.26

Seja f uma função derivável em x 0 e considere a função d ( x ) =   f ( x ) − f   ′   ( a ) ( x   - a )   −   f ( a ) . Calcule d ( a ) e d ’ ( a ) . Interprete geometricamente os resultados obtidos.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular d ( a ) e d ’ ( a ) , sendo d ( x ) a seguinte função:

d ( x ) =   f ( x ) − f   ′   ( a ) ( x   - a )   −   f ( a )

E f derivável em x 0 .

Então vamos calcular as derivadas envolvidas, utilizando a regra da cadeia se necessário. Vamos lá!

Passo 2

Calculando d ( a )

d ( a ) =   f ( a ) − f   ′   ( a ) ( a   - a )   −   f ( a )

d ( a ) = 0

Passo 3

Calculando a derivada de d ( x )

d ' ( x ) = d d x (   f ( x ) − f   ′   ( a ) ( x   - a )   −   f ( a ) ) = f ' ( x ) - f ' ( a )

d ' ( x ) = f ' ( x ) - f ' ( a )

Temos então que:

d ' ( a ) = f ' ( a ) - f ' ( a ) = 0

Passo 4

Olhando para a definição e ajustando

d ( x ) =   f ( x ) − f   ′   ( a ) ( x   - a )   −   f ( a ) = f ( x ) - ( f   ′   ( a ) ( x   - a )   +   f ( a ) )

Sendo,

f   ′   ( a ) ( x   - a )   +   f ( a )

a reta tangente a f ( x ) no ponto x = a , então d ( x ) é a diferença entre a função e sua reta tangente no ponto x = a . Sendo essa diferença constante ( d ' ( a ) =0) e nula ( d ( a ) =0) nesse ponto.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d ( a ) = d ' ( a ) = 0 .

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