UFES, 2018.1, Lista 6, Q08
08) Seja tal que . Mostre que é diferenciável em .
Passo 1
Ooii gente, tudo bem com vocês?
O exercício nos pede para provar que é diferenciável em , mas não sabemos a lei de formação dessa função. Em compensação temos uma desigualdade envolvendo ela e .
Para mostrar que é diferenciável em um ponto, precisamos mostrar que os limites laterais abaixo são finitos e iguais:
Para , temos:
Passo 2
Beleza! Para podermos calcular esses limites, precisamos antes calcular . Como não temos a lei de formação da função, devemos usar a desigualdade dada.
Como o módulo de algo é sempre maior ou igual a zero, chegamos à conclusão que:
Top, então agora precisamos calcular:
É hora de chamar o querido teorema do confronto. Sabemos que:
Dividindo tudo por , temos que:
Beleza, agora podemos aplicar o limite quando para calcular um dos limites laterais:
Logo,
Ótimo, fazendo o processo análogo com o nosso limite à direita, vamos ter que:
De onde vem que:
Muito bommm! Encontramos que os dois limites laterais são iguais, e consequentemente, podemos afirmar que é diferenciável em , inclusive com .
Prontinho 😊
Resposta
No texto.