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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 15b

15. Dada a função f x = x 2 - 7 ,     s e   0 < x ≤ b 6 x ,     s e   x > b ,

b) f é derivável no ponto x = b encontrado no item anterior?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi dada uma função definida por partes em que para 0 < x ≤ b f x = x 2 - 7 e para x > b f x = 6 x .

Anteriormente definimos que b = 3 para que f seja contínua em x = b e agora queremos descobrir se f é derivável em x = b .

Parece difícil? 🤔

Para f ser derivável em x = b , as duas partes de f tem que ter o mesmo coeficiente angular nesse ponto, ou seja, as derivadas de cada parte aplicada ao ponto x = b tem que ter o mesmo valor.

Sacou como temos que fazer? 😬

Passo 2

A primeira coisa é obter as derivadas das partes de f pelo método de derivação polinomial.

f x = x 2 - 7 ,     s e   0 < x ≤ b 6 x ,     s e   x > b → f ' x = 2 x 2 - 1 - 7 0 ,     s e   0 < x ≤ b - 6 x 1 + 1 ,     s e   x > b

f ' x = 2 x ,     s e   0 < x ≤ b - 6 x 2 ,     s e   x > b

Se f é derivável nesse ponto, então 2 x = - 6 x 2 em x = b = 3 .

Aplicando o ponto na igualdade

2 3 = - 6 3 2

6 = - 2 3

Como a igualdade não bateu, então f não é derivável no ponto x = b

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f não é derivável no ponto x = b

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