USP– Cálculo 1 – Lista 2 – Questão 10b
Seja uma função derivável e seja fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
- Se é derivável até segunda ordem com e , para todo , então
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui
Se é derivável até segunda ordem com e , para todo , então
E agora, essa afirmação é verdadeira?
Quando temos uma função com derivada primeira e segunda positiva, isso significa necessariamente que ela explode para infinito?
Sabemos que uma função explode para infinito quando
Será que uma coisa está relacionada com a outra?
Então a ideia é analisar funções em que isso falha! Assim podemos afirmar que é falsa!
Bora lá!
Passo 2
Quando a derivada primeira é positiva, sua concavidade pode ser negativa e isso significa que a função não vai explodir no infinito!
Mas se a derivada primeira é positiva (função crescente) e derivada segunda também é positiva (côncava para cima) isso sim significa que a função vai explodir no infinito!
Portanto essa afirmativa é verdadeira
E é isso! Até a próxima!