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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

Considere

f x = 1 - 2 sen ⁡ x ,     x ∈ - ∞ ,   0 x - 1 2 ,                           x ∈ 0 ,   1 x 2 ln ⁡ x ,                             x ∈ 1 ,   ∞

Determine os pontos onde f não é derivável.

Passo 1

a Observando a lei de definição de f percebemos que exceto nos pontos x = 0 e x = 1 , f é composta por funções deriváveis em seus domínios. A saber, sen ⁡ x , x 2 , ln ⁡ x (para x > 0 ) e constantes ( 1 e 2 ). E sabemos que a subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis é derivável.

Então, os únicos candidatos a ponto onde a função é não derivável são x = 0 e x = 1 . Portanto, temos que analisá-los.

Passo 2

Vamos ver se são contínuas nos dois pontos. Primeiro x = 0 :

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

lim x → 0 - ⁡ 1 - 2 sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x - 1 2 = 0 - 1 2

1 - 2 0 = - 1 2 = 1

1 = 1 = 1

Agora vamos fazer em x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 = lim x → 1 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1

1 - 1 2 = 1 2 ln ⁡ 1 = 0

0 = 0 = 0

Os dois pontos são contínuos! Ainda não podemos afirmar se a função é diferenciável, mas podemos derivá-la e comparar suas derivadas laterais nesses pontos.

Passo 3

Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade no ponto.

Calculando a derivada pela esquerda no ponto x = 0 .

f x - = 1 - 2 sen ⁡ x ' = - 2 cos ⁡ x

f 0 - = - 2 cos ⁡ 0 = - 2

Para a direita de x = 0 , teremos:

f x + = x - 1 2 ' = 2 x - 1

f 0 + = 2 0 - 1 = - 2

Bateram no mesmo valor! Portanto, f é derivável em x = 0 .

Passo 4

Calculando a derivada pela esquerda no ponto x = 1 .

f x - = x - 1 2 ' = 2 x - 1

f 1 - = 2 1 - 1 = 0

Para a direita de x = 0 , teremos:

f x + = x 2 ln ⁡ x ' = 2 x ln ⁡ x + x 2 1 x

= 2 x ln ⁡ x + x

f 1 + = 2 1 ln ⁡ 1 + 1 = 0 + 1 = 1

A conclusão é que f não é derivável em x = 1 .

Resposta

A   f u n ç ã o   f   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = 1 ,   p o i s   s u a s   d e r i v a d a s   l a t e r a i s   s ã o   d i f e r e n t e s .

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Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .