USP– Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 3.5c
Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto indicado.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui
E perguntou sobre a derivada dessa função. Mas você lembra de os dois requisitos pra uma função ser derivável em um determinado ponto?
O primeiro é que no ponto em questão a função precisa ser contínua, ou seja, os limites laterais precisam ser iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto.
E o segundo critério é que a derivada lateral também precisa ser igual
Então a ideia é aplicar esses critérios na nossa função e verificar se temos derivada! Beleza?
Bora lá!
Passo 2
Começando pelo limite quando
Ok! Vemos que o produto de uma função contínua por uma limitada (o seno pode valer entre e apenas) é zero. Beleza? Até agora vemos que a função é contínua, agora vamos ver se ela é derivável
Passo 3
Pra ver se ela é derivável, o limite da derivada deve ser igual. Primeiro vamos achar a derivada
Agora vamos calcular o limite para
Separando em dois limites
Nos dois limites temos o produto de uma função limitada (entre e ) por uma contínua e respectivamente que ambas vão à zero quando , sendo assim esse limite é zero
Ou seja, tanto a função quanto a derivada tem o mesmo valor nas duas partes de suas definições, então temos que nossa função é derivável em
Beleza?
E é isso! Até a próxima!