Sejam a e b números reais tais que a função

f x = a x 2 + b                             s e       x < 5 10 e x - 5 + 20 x     s e     x ≥ 5

É diferenciável em toda parte. O valor de f ( 1 ) é

(A) 38

(B) 37

(C) 39

(D) 40

(E) 36

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado no deu uma função definida por partes. Ele nos disse que essa função é diferenciável em toda parte, então podemos supor que ela seja contínua. E aí, ele quer saber o valor de f ( 1 ) .

Repare que nós temos duas equações diferentes pra definir a função, que dependem do intervalo que a gente tá considerando. Como em f ( 1 ) , x = 1 < 5 , então nossa f ( x ) tem a forma:

f x = a x 2 + b

Pra x = 1 , nós vamos ter f 1 = a + b . Então, o que a gente vai fazer é encontrar os valores de a e b pra obter nosso resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Como a nossa função é diferenciável em toda parte, nós podemos fazer:

a x 2 + b = 10 e x - 5 + 20 x

Pra x = 5 , que é o ponto que teria uma descontinuidade, temos:

a 5 2 + b = 10 e 5 - 5 + 20 ( 5 )

25 a + b = 110

Ainda não chegamos em lugar nenhum, mas vamos guardar essa equação.

Passo 3

Como a função é diferenciável, nós também podemos igualar suas derivadas:

d d x a x 2 + b = d d x ( 10 e x - 5 + 20 x )

Derivando, temos:

2 a x = 10 e x - 5 + 20

Pra x = 5 , vamos obter:

2 a 5 = 10 e 5 - 5 + 20

10 a = 10 + 20

a = 3

Legal, agora só falta encontrar o b . Pra isso, vamos pegar aquela equação guardadinha no passo 2 :

25 a + b = 110

Substituindo a = 3 :

25 3 + b = 110

75 + b = 110

b = 35

E finalmente, podemos obter nosso f ( 1 ) :

f 1 = a + b

Substituindo a e b :

f 1 = 3 + 35

f 1 = 38

Que é a nossa letra (A).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f 1 = 38

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