UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P2 - 2020.2, Questão 2
Sejam e números reais tais que a função
É diferenciável em toda parte. O valor de é
(A) 38
(B) 37
(C) 39
(D) 40
(E) 36
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado no deu uma função definida por partes. Ele nos disse que essa função é diferenciável em toda parte, então podemos supor que ela seja contínua. E aí, ele quer saber o valor de .
Repare que nós temos duas equações diferentes pra definir a função, que dependem do intervalo que a gente tá considerando. Como em , , então nossa tem a forma:
Pra , nós vamos ter . Então, o que a gente vai fazer é encontrar os valores de e pra obter nosso resultado.
Vamos lá!
Passo 2
Como a nossa função é diferenciável em toda parte, nós podemos fazer:
Pra , que é o ponto que teria uma descontinuidade, temos:
Ainda não chegamos em lugar nenhum, mas vamos guardar essa equação.
Passo 3
Como a função é diferenciável, nós também podemos igualar suas derivadas:
Derivando, temos:
Pra , vamos obter:
Legal, agora só falta encontrar o . Pra isso, vamos pegar aquela equação guardadinha no passo :
Substituindo :
E finalmente, podemos obter nosso :
Substituindo e :
Que é a nossa letra (A).
Valeu, galera! Até a próxima! 😉