UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.1.6
Seja tal que para todo com ,
Se é diferenciável em , determine e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar e , dada a desigualdade:
E sabendo que é diferenciável em . Pra isso, vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduiche) para encontrar o limite de quando tende a . Assim, pela definição de continuidade, teremos:
Em seguida, usaremos esse resultado para estimar a derivada , por meio da definição .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando os limites na desigualdade:
Fatorando o polinômio da esquerda:
Como não temos nenhuma indeterminação, podemos aplicar o limite:
Assim, pelo Teorema do Sanduiche, temos:
Passo 3
O enunciado nos diz que é diferenciável em , então é contínua em . Se ela é contínua, teremos:
E a gente viu no passo anterior que . Então,
Passo 4
Agora queremos determinar , para obter . Pra isso, vamos manipular um pouco nossa desigualdade e começar substraindo de todos os termos:
A gente viu que fatorando o lado esquerdo, temos:
Agora vamos dividir todo mundo por :
Aplicando o limite para , temos:
Assim, pelo Teorema do Sanduiche, temos:
E pela definição de derivada:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉