Seja f: R → R tal que para todo x ∈ R com x ≠ 1 ,

(x^2 - 1) / (x - 1) ≤ f(x) ≤ (x^2 + 3) / 2.

Se f é diferenciável em x = 1 , determine f(1) e f'(1) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar f ( 1 ) e f ' ( 1 ) , dada a desigualdade:

x 2 - 1 x - 1 ≤ f x ≤ x 2 + 3 2 .

E sabendo que f é diferenciável em x = 1 . Pra isso, vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduiche) para encontrar o limite de f ( x ) quando x tende a 1 . Assim, pela definição de continuidade, teremos:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Em seguida, usaremos esse resultado para estimar a derivada f ' ( 1 ) , por meio da definição f x - f ( 1 ) x - 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites na desigualdade:

l i m x → 1 x 2 - 1 x - 1 ≤ l i m x → 1   f x ≤ l i m x → 1 x 2 + 3 2

Fatorando o polinômio da esquerda:

l i m x → 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) x - 1 ≤ l i m x → 1   f x ≤ l i m x → 1 x 2 + 3 2

l i m x → 1 x + 1 ≤ l i m x → 1   f x ≤ l i m x → 1 x 2 + 3 2

Como não temos nenhuma indeterminação, podemos aplicar o limite:

1 + 1 ≤ l i m x → 1   f x ≤ 1 2 + 3 2

2 ≤ l i m x → 1   f x ≤ 2

Assim, pelo Teorema do Sanduiche, temos:

l i m x → 1   f x = 2

Passo 3

O enunciado nos diz que f é diferenciável em x = 1 , então f é contínua em x = 1 . Se ela é contínua, teremos:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

E a gente viu no passo anterior que l i m x → 1   f x = 2 . Então,

f 1 = 2

Passo 4

Agora queremos determinar f x - f ( 1 ) x - 1 , para obter f ' ( 1 ) . Pra isso, vamos manipular um pouco nossa desigualdade e começar substraindo 2 de todos os termos:

x 2 - 1 x - 1 - 2 ≤ f x - 2 ≤ x 2 + 3 2 - 2

A gente viu que fatorando o lado esquerdo, temos:

x + 1 - 2 ≤ f x - 2 ≤ x 2 + 3 2 - 2

x - 1 ≤ f x - 2 ≤ x 2 - 1 2

Agora vamos dividir todo mundo por x - 1 :

x - 1 x - 1 ≤ f x - 2 x - 1 ≤ x 2 - 1 2 x - 1

1 ≤ f x - 2 x - 1 ≤ x + 1 2

Aplicando o limite para x → 1 , temos:

lim x → 1 ⁡ 1 ≤ lim x → 1 ⁡ f x - 2 x - 1 ≤ lim x → 1 ⁡ x + 1 2

1 ≤ lim x → 1 ⁡ f x - 2 x - 1 ≤ 1

Assim, pelo Teorema do Sanduiche, temos:

lim x → 1 ⁡ f x - 2 x - 1 = 1

E pela definição de derivada:

f ' 1 = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f 1 = 2

f ' 1 = 1

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