Seja
Calcule, se existir, . Justifique sua resposta.
A função é diferenciável em ?
Passo 1
Para resolver essa letra temos que lembrar que um limite qualquer num ponto só existe se os limites laterais nesse ponto existirem e forem iguais.
Passo 2
Então vamos lá, façamos um pela esquerda e depois o outro pela direita desse que ele pediu:
Aqui, como o limite é pela esquerda, usaremos para a função dada para valores abaixo de :
E a função em é dada para o valor da função quando , que é:
Com isso, teremos:
Agora para o limite pela direita teremos:
E usaremos para a função para valores acima de :
E a função em continua a mesma:
Com isso, teremos:
Os limites deram diferentes. Podemos concluir que o limite pedido não existe em .
Passo 3
Pera aí, você reparou que limite é esse que ele pediu no item ? É a definição de derivada!
No caso, ele usou em , por isso derivada em . Daí surge a pergunta, a função é derivável em ?
Bom, se o limite que define a derivada nesse ponto não existe, como vimos na última letra que os limites laterais não batem, a função não é diferenciável em .