Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 10a

(10) (a) Prove que se é diferenciável em , então também é diferenciável em desde que .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que mostrar que se temos uma função que seja diferenciável em , então o modulo de também é diferenciável desde que .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Vamos analisar a situação e depois demonstrar com um exemplo...

Bora lá! 😉

Passo 2

Bom... temos uma função que é diferenciável. Se fizermos a mesma análise para temos que pensar um pouco mais pois o que pode acontecer é que a função pode ir a e ao invés da função seguir seu caminho convencional, ela “reflete” no eixo e volta para positivo.

O problema é que isso pode ocorrer de forma tão brusca que perde sua diferenciabilidade pois os limites laterais da função divergem do valor real.

Por exemplo, se tivermos uma função

Seu modulo é dado por

Esboçando essas funções no plano cartesiano, temos

Perceba que no ponto a função não é diferenciável.

Logo, toda função que seja diferenciável, seu módulo também é diferenciável.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Toda função que seja diferenciável, seu módulo também é diferenci��vel

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