5. Calcule ∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 , onde γ 1 é a circunferência x 2 + y 2 = 1 , percorrida no sentido positivo, e γ 2 é a circunferência x + 2 2 + y 2 = 1 ; percorrida no sentido horário.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 em que γ 1 :   x 2 + y 2 = 1 e γ 2 : x + 2 2 + y 2 = 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração...

Esboçando a circunferência x 2 + y 2 = 1 e x + 2 2 + y 2 = 1 , temos

Agora calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = - y x 2 + y 2 e Q = x x 2 + y 2 .

∂ Q ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 ∂ x = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ P ∂ y = ∂ - y x 2 + y 2 ∂ y = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 = ∫ ∫ - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 - - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 d A

∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 = ∫ ∫ 0 d A

Como o campo é conservativo, então sua integral é 0

∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 = 0

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