Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Ver Teoria
Exercício 101123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.3.5

5. Calcule ∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 , onde γ 1 é a circunferência x 2 + y 2 = 1 , percorrida no sentido positivo, e γ 2 é a circunferência x + 2 2 + y 2 = 1 ; percorrida no sentido horário.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 em que γ 1 :   x 2 + y 2 = 1 e γ 2 : x + 2 2 + y 2 = 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração...

Esboçando a circunferência x 2 + y 2 = 1 e x + 2 2 + y 2 = 1 , temos

Agora calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = - y x 2 + y 2 e Q = x x 2 + y 2 .

∂ Q ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 ∂ x = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ P ∂ y = ∂ - y x 2 + y 2 ∂ y = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 = ∫ ∫ - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 - - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 d A

∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 = ∫ ∫ 0 d A

Como o campo é conservativo, então sua integral é 0

∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ γ 1 + γ 2 - y d x + x d y x 2 + y 2 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .