3. Uma função f : R → R satisfaz as seguintes propriedades:

  • f 2 = 0
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1
  • lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ e lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞
  • lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1
  • f é estritamente crescente em 0,2 e ( 2 , + ∞ )
  • f é uma função par

c. f é derivável no ponto x = 2 ? Justifique.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que dizer se a função é derivável no ponto x = 2 . E para uma função ser derivável em um ponto, ela tem que ser continua naquele ponto.

Para quem não lembra, para uma função ser continua temos que

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = f x

Ou seja, os limites laterias tem que ser iguais entre si e a função no ponto.

Bora lá!

Passo 2

Analisando os limites laterais em x → 2 temos que

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ ≠ lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞

Repara que eles são diferentes. Além disso, a nossa função no ponto é f 2 = 0 . Ou seja, a nossa função não é continua. Logo ela não é derivável em x = 2 .

Resposta

Não é derivável, pois a função não é contínua em x = 2 .

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