Seja f uma função diferenciável num intervalo x = 0 . Considere a função g(x) = |x| f(x) .

(a) g é contínua em x = 0 ? Justifique.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função g x = x f ( x ) é contínua, sabendo que f é uma função diferenciável em x = 0 .

Como f é diferenciável no ponto que queremos, sabemos que ela também é contínua. Então, nos resta verificar se a função x é contínua, porque, por definição, o produto de duas funções contínuas também é contínua.

Vamos lá!

Passo 2

A função h x = x é definida por partes da seguinte forma:

x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Repare que pra x = 0 , temos x = 0 . E quando x ≠ 0 , vamos ter o limite:

lim x → 0 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - x = 0

Então, h 0 = lim x → 0 ⁡ h ( x ) , o que nos diz que a função modular é contínua.

Como f também é contínua e o produto de funções contínuas é contínua, temos:

g x = x f x → c o n t í n u a

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

g x = x f x → c o n t í n u a

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