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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1, Questão 11

Considere g ( x ) = f ( x ) x , com f ( x ) uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g ( x ) é duas vezes diferenciável e satisfaz:

Passo 1

E aí gurizada, partiu para mais uma questão de cálculo!!!

Para determinar se a função g ( x ) = f ( x ) x , com f (x) sendo uma função duas vezes diferenciável, também é duas vezes diferenciável e satisfaz alguma propriedade específica, precisamos analisar sua derivada primeira e segunda.

Vamos calcular a segunda derivada primeira da função g(x) é dada pela regra do produto. g ' ( x ) = d d x ( f ( x ) ) x +   f ( x )   d d x x

Vamos calcular cada um desses termos separadamente:

  1. A derivada de f(x) é f′ (x)
  2. A derivada de x é a 1 2 x

Agora, podemos escrever a derivada primeira de g(x) como:

g ' ( x ) = f ' ( x ) x + f ( x ) 2 x

Passo 2

Agora, para determinar a segunda derivada, g’’ (x), precisamos calcular a derivada da expressão acima. Usando a regra do produto novamente:

Vamos calcular cada um desses termos separadamente:

  1. A derivada de f ' ( x ) x é d d x ( f ( x ) ) x +   f ( x )   d d x x
  2. A derivada de f ( x ) 2 x é 1 2 x   d / d x   f ( x ) -   f ( x ) /   4 x x

Passo 3

Agora, podemos simplificar a função:

g ' ' ( x ) = f ' ' ( x ) x + f ' ( x ) x -   f ( x ) /   4 x x .

Resposta

g ' ' ( x ) = f ' ' ( x ) x + f ' ' ( x ) x -   f ( x ) /   4 x x .

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