Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira
- Se é uma função derivável tal que não possui pontos críticos, então não possui extremos globais
- Se é uma função qualquer tal que , então existe tal que
- Se é uma função contínua tal que é derivável em e , então existe tal que
- Se é uma função derivável e é o único ponto crítico de , então é extremo global de .
- Se é uma função derivável tal que e para todo , então para todo
Passo 1
Pra gente resolver essa questão vamos ter que testar cada afirmativa uma a uma, beleza? Vamos começar com a letra . Ela diz que não temos extremos globais. Será que é verdade? Bem, como o intervalo do domínio é aberto, nem nem podem ser considerados pontos de extremo global, o que elimina a possibilidade de a função ser estritamente crescente ou decrescente e um desses pontos atuar como extremos globais.
Entããããão, o único jeito dessa função ter extremos globais dentro desse intervalo é se ela tiver extremos locais! E só os pontos críticos podem garantir isso! Ou seja, se a função não tiver pontos críticos, não vamos ter máximos ou mínimos! Essa afirmativa é a verdadeira!
Mas vamos continuar, porque é importante vermos o porque das outras serem falsas!
Passo 2
A letra nos dá uma quase verdade. Pensa comigo, se eu multiplico um valor negativo por outro positivo, dá negativo certo? Então se for positivo e for negativo, ou vice versa, necessariamente entre e existe um que zera a função. Caso contrário, os sinais de e não teriam como ser diferentes.
Só um detalhezinho galera, que torna essa letra falsa. A letra não fixa que é contínua! Então pode existir uma função descontínua como por exemplo...
...em que sem que exista uma raiz tal que e esteja entre e . Veja que nesse exemplo nem sequer existe um valor de que zere a função!
Passo 3
A letra está condicionando a existência de pontos críticos a um algebrismo. Bem, se então necessariamente . Só que o caminho que leva de até pode ser, por exemplo, estritamente crescente! Como uma reta por exemplo! Não precisa ter um ponto de máximo ou de mínimo no meio do caminho pra o segundo ponto estar mais alto que o primeiro!
A reta que casa algebricamente com o imposto é:
Perceba que:
Logo a reta não possui pontos críticos, a restrição imposta está satisfeita e de quebra vimos que o caminho pode ser sim estritamente crescente. Tudo abobrinha o que a letra disse!
Passo 4
A letra engana a gente, mas por sorte até já comentamos um pouco a respeito aqui. Ok, belezinha, minha função é derivável E tem um ponto crítico.
Maaaaaas, a questão parte do princípio que todo ponto crítico indica um ponto de máximo ou de mínimo! Nem sempre é o caso! Veja por exemplo:
Essa função é estritamente crescente! No entanto:
O ponto é um ponto crítico mas ele não é nem de máximo nem de mínimo porque o sinal da primeira derivada é sempre positivo, o que prova que a função é sempre crescente. Dessa forma o extremo global da função está no intervalo proposto e não no ponto crítico! Próximo e último pessoal!
Passo 5
Show, bora pra última letra. A diz que se a função é estritamente crescente nesse intervalo, algo que ela diz ao afirmar que , então ela ta necessariamente acima do eixo no intervalo, algo que ela diz ao afirmar que .
Oras, uma função pode ser crescente e estar abaixo do eixo ! Então é falso! Veja o exemplo:
Essa função é maior que somente pra . Ou seja, no intervalo , um intervalo pertencente ao intervalo , a função está abaixo do eixo ! E sendo uma reta cuja derivada é sempre positiva:
Então temos ai uma função estritamente crescente. Ah, e além disso, essa função em específico satisfaz:
Restrição imposta pelo enunciado. Fechamos então!