Unicamp, Cálculo 1, 2019.2, P1, Questão 3.
Seja dada por
(a) A função é contínua em ? Justifique sua resposta.
(b) A função é derivável em ? Justifique sua resposta. Caso sim, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de em .
Passo 1
Olha, é quase garantido que uma questão como essa vai aparecer na sua prova. Então vamos juntos entender como resolver cada etapa.
Primeira coisa, como eu vejo se a função é contínua? O jeito mais fácil é esse aqui: a função é contínua se:
Entendeu? A função é contínua se o limite dela tendendo a um ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
(a) A gente quer saber se a questão é contínua em , então vamos começar calculando esse limite aqui:
Pra esse limite existir, ele tem que ser o mesmo quando se aproxima do pela direita e pela esquerda:
Quando a gente calcular o limite com , qual “definição” da função a gente usa?
A primeira! Em que , então:
E aqui é só substituir direto!
E quando a gente calcular o limite com , é só usar a outra definição:
E mais uma vez é só substituir direto:
Beleza, os dois limites são iguais, então:
Passo 3
Agora falta a outra parte da igualdade. Lembrando nossa ideia é mostrar que:
A gente já viu que o lado esquerdo dessa equação é , então a ideia é mostrar isso aqui:
Bom, olhando de novo para a definição da função do enunciado:
Quando é igual a , a gente tem que usar o ramo de cima, que vale para maior ou igual a , então:
Beleza, é isso que a gente precisava provar:
Então a função é contínua em !
Passo 4
Então tá, agora como a gente faz pra descobrir se a função é derivável?
Aqui a justificativa é bem simples: já que a função é contínua em , então ela é derivável em .
E o enunciado também pede para encontrarmos a equação da reta tangente em .
O primeiro passo para isso é calcular a derivada da função em . Dê mais uma olhada na função:
O melhor jeito de fazer essa derivada é usando a definição:
Nos dois casos ( e ), temos que usar o ramo de cima da função:
Simplificando mais um pouco:
Então, quando tende à zero:
Essa é a derivada da função no ponto , então essa é a inclinação da reta tangente nessa ponto.
Passo 5
Do que mais a gente precisa para encontrar a equação da reta tangente em ?
A reta vai ter uma equação como essa aqui:
Mas a gente já sabe qual a inclinação da reta é , então :
Só precisamos de mais uma informação! A gente sabe que a reta tangencia a função no ponto , onde , então:
E a equação da reta tangente no ponto é:
Resposta
(a) , então a função é contínua.
(b) A função é contínua, e portanto é diferenciável. A equação da reta tangente à função no ponto é .