UFES, Cálculo I, P2, 2020.2, questão 1
Use a definição para verificar se a função tem derivada no ponto .
Passo 1
Falaaaa, galeraaa! Tudo certo?
Bom, o objetivo dessa questão é aplicar o conceito de diferenciabilidade da função, ou seja, verificar a teoria aplicada a um ponto em uma função.
Primeiramente, devemos saber que uma função só é diferenciável se ela for contínua em um ponto. Para isso, vamos calcular os limites laterais e o limite no ponto e verificar se os valores obtidos são iguais. Calma, é bem simples, olha só.
Calculando o limite no ponto , nós obtemos:
Observe que a função exatamente no ponto é a . Logo, temos
Como a função é composta por duas expressões, precisamos avaliar o limite do lado esquerdo e do lado direito.
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Assim, como os limites laterais são iguais a função no ponto (), a função é contínua.
Passo 2
Agora podemos verificar o ponto principal da questão, que é identificar se a função é diferenciável. Para que isso aconteça, a derivada da função deve existir nesse ponto.
Como a função é composta por duas expressões, como já falamos no Passo 1, devemos calcular a derivada pela esquerda e pela direita também, beleza?
Bom, lembre-se que a questão pede para usar a definição de derivada para resolvê-la. Lembra dela?
Agora, pela definição acima podemos fazer:
Pela esquerda:
Note que se você substituir os valores direto, você terá uma indeterminação do tipo , então devemos cancelar a expressão igual que está presente no numerador e no denominador.
Observe que:
Pela direita:
Aqui também você terá uma indeterminação do tipo , então devemos cancelar a expressão igual que está presente no numerador e no denominador.
Assim, podemos concluir que como os dois limites existem a função é diferenciável no ponto.
Até a próxima!
Resposta
Sim, é diferenciável.