Considere a função dada por:
(c) Sejam e considere a função dada por:
Determine os valores de e para que a função seja contínua e diferenciável.
Passo 1
Verificar condição de continuidade
Pra uma função ser contínua, sem falar matematiquês, basta que a gente consiga desenhar ela toda sem tirar o lápis do papel, beleza? Pra isso, a função não pode ter dois valores diferentes no exato ponto em que a expressão matemática dela muda. Então, vamos definir:
Pra ser contínua, tem que ser verdade então:
Eai bora substituir onde tem por :
Eita, isso não me diz nada! Mas calma, segura esse resultado ai e vamos verificar a diferenciabilidade
Passo 2
Verificar condição de diferenciabilidade
Agora, se a gente quer que seja contínua em todos os pontos, exatamente no ponto em que dá problema, que é , a inclinação da reta tangente tem que ser uma só, independente de se calculamos essa inclinação com ou . Isso é o mesmo que dizer que:
Logo, derivando
E aplicando o ponto
Passo 3
Resolver o sistema de equações
Agora sim temos como resolver o problema. Só juntar o resultado dos passos anteriores em um sistema de equações esperto:
Agora é só resolver:
E resolvendo pra achar , temos:
E se chegamos finalmente a nossa resposta:
Popopopooor hoje é só pepepessoal
Resposta
(c)