UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 8a
Verifique a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto
a)
Passo 1
Olá gente bonita, tudo certinho?
Nessa questão temos uma função de duas variáveis dada por:
Isso significa que, quando é diferente do ponto ela vale:
Já quando :
Sacou?
Enfim, o enunciado nos pede para verificar se essa função é diferenciável em .
Vocês sabem como podemos verificar isso?
Então gente, existe mais de uma forma de verificarmos a diferenciabilidade.
Mas, quando a função é definida por partes, acho que é interessante utilizarmos o teorema mais geral para diferenciabilidade, que basicamente diz o seguinte:
Pra uma função ser diferenciável em é necessário e suficiente que:
Existam as derivadas parciais, e , no ponto
O limite abaixo seja igual a zero:
Ou seja, essas duas condições precisam ser respeitadas simultaneamente. Se uma delas não for verdadeira, a função não é diferenciável naquele ponto. Beleza?
É galera...esse limite é bem feio mesmo! Mas calma, se até o sapo virou príncipe, isso daí pode ficar lindo lindo haha!
Vamos então verificar cada uma dessas condições pra descobrir se é diferenciável em .
Tranquilo?
Passo 2
Pra começar, precisamos verificar se as derivadas parciais, e , existem no ponto .
Alguém sabe como podemos fazer isso?
Então, em funções definidas por partes, não basta a gente fazer a derivada parcial normalmente de e depois substituir os pontos . Pois, é justamente o ponto em que a muda de cara.
Nesses casos, precisamos calcular pela definição, que diz o seguinte:
Bora lá galera! Começando pela derivada parcial em relação a em :
Mas, lembra que:
Então,
E:
Substituindo em , vem:
Portanto, existe e vale zero.
Passo 3
Vamos agora calcular a derivada parcial em relação a em .
Em :
Novamente, lembrando que:
Daí, temos:
Substituindo em , vem:
Portanto:
Assim, existe e vale zero.
Portanto, como e existem, a primeira condição foi satisfeita.
Uhuuuul! Bora mergulhar naquele limitão agora.
Passo 4
Como vimos no passo , a segunda condição para a diferenciabilidade requer que:
No ponto :
Vamos então calcular esse limite e verificar se realmente ele é igual a zero.
Dos passos e , podemos lembrar também que:
Além disso, vimos também que .
Substituindo tudo isso dentro do limite, temos:
Olha como ficou bonitoooo! Num falei pra vocês haha!
Bom, ocorre quando está tendendo a . Ou seja, ainda não valem exatamente . Assim, lembrando que é definida como:
Temos:
Além disso, é a norma de . Ou seja, vale:
Substituindo isso no limite, vem:
Perfeito! Nosso trabalho se resume a calcular esse limite 😊
Passo 5
Precisamos calcular:
O primeiro passo é substituir os valores que estão tendendo dentro do limite e verificar se tem alguma impossibilidade matemática.
Isso é uma indeterminação matemática.
Vamos então analisar a relação entre os expoentes do numerador e do denominador pra termos uma noção inicial se esse limite existe ou não.
No numerador, o expoente máximo vale . No denominador, o expoente máximo também vale (é só analisar um dos termos, por exemplo, ).
Ou seja, os expoentes máximos do numerador e denominador são iguais!
Isso nos dá um forte indício de que esse limite não deve existir, e também, se tivermos lembrando bem dos bizus, significa que é bom atacarmos o limite pelo caminho genérico:
Substituindo dentro do limite, vamos ter:
Simplificando o no numerador e denominador:
Olha que massa! Esse limite depende apenas do valor de . Isso significa que se formos pelo caminho com ou com , obteremos resultados diferentes.
Logoo, esse limite não existe!
Ou sejaaaa, aquele limitão:
Não existe. Portanto, não é igual a zero.
Assim, a segunda condição do nosso teorema para a diferenciabilidade não foi obedecido, e concluímos que não é diferenciável em .
Uhuuul! Conseguimos gente. Deu um trabalhinho, mas saiu!
Obrigado pela atenção, até a próxima 😊
Resposta
Não é diferenciável em .