Se f(x) = a*x + 1 para x ≤ 0 e f(x) = x^3 + b*x para x > 0 , determine se existem a, b tais que f(x) seja diferenciável em x = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... temos a seguinte função f x :

f x = a x + 1 ,     x ≤ 0 x 3 + b x ,     x > 0

Queremos saber se existe a e b para que f x seja diferenciável em x = 0 .

Para isso, é necessário que a função seja contínua nesse ponto e que sua derivada exista também nesse ponto.

Em outras palavras o limite de x que se aproxima de 0 pela esquerda x → 0 - deve ser igual ao limite de x que se aproxima de 0 pela direita x → 0 + .

Agora vamos aplicar esse princípio, belezinha?

😉

Passo 2

Bom... vamos verificar o limite para x → 0 - :

lim x → 0 - ⁡ a x + 1 =

= a * 0 + 1 ∴

= 1

Agora, para x → 0 + :

lim x → 0 + ⁡ x 3 + b x =

= 0 3 + b * 0 ∴

= 0

Como os limites resultaram em valores diferentes então a função não é contínua em x = 0 .

Dessa forma, não existem a , b tais que f x seja diferenciável em x = 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Não existem a , b tais que f x seja diferenciável em x = 0

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