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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

USP– Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 3.5d

Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x 0 indicado.

d )   f x = sin ⁡ x x ,   s e   x ≠ 0 1 ,   s e   x = 0 ,   x 0 = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = sin ⁡ x x ,   s e   x ≠ 0 1 ,   s e   x = 0 ,   x 0 = 0

E perguntou sobre a derivada dessa função. Mas você lembra de os dois requisitos pra uma função ser derivável em um determinado ponto?

O primeiro é que no ponto em questão a função precisa ser contínua, ou seja, os limites laterais precisam ser iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto.

E o segundo critério é que a derivada lateral também precisa ser igual

Então a ideia é aplicar esses critérios na nossa função e verificar se temos derivada! Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Começando pelo limite quando x ≠ 0

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ⏝ = 1 = 1

x = 1 , temos f 1 = 1 .

. Beleza? Até agora vemos que a função é contínua, agora vamos ver se ela é derivável

Passo 3

Pra ver se ela é derivável, o limite da derivada deve ser igual. Primeiro vamos achar a derivada

f ' x = x cos ⁡ x - sin ⁡ x x 2 ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

Agora vamos calcular o limite para x → 0

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x x 2 = 0 0

Aplicando L’Hopital temos

lim x → 0 ⁡   cos ⁡ x - x sin ⁡ x - cos ⁡ x 2 x = ⏝ s i m p l i f i c a n d o lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x 2 = ⏝ a p l i c a n d o   o s   l i m i t e s 0

Ou seja, tanto a função quanto a derivada tem o mesmo valor nas duas partes de suas definições, então temos que nossa função é derivável em x 0 = 0

Beleza?

E é isso! Até a próxima!

Resposta

c o n t í n u a   e   d e r i v á v e l   e m   x 0 = 0

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