Sejam e funções reais a valores reais. Considere as seguintes afirmações:
- Se é contínua em , então é derivável em .
- Suponha inversível com inversa , derivável em , contínua em e . Então é derivável em .
- Se e forem ambas descontínuas em , então é descontínua em .
São verdadeiras:
- Apenas a afirmação I
- Apenas a afirmação II
- Apenas a afirmação III
- Todas as afirmações
- Apenas as afirmações II e III
Passo 1
Vamos analisar cada uma das afirmações. A primeira diz que é contínua em um ponto e por isso é derivável nesse ponto.
Lembra do que foi estudado sobre Diferenciabilidade de funções? Existe um teorema que diz:
No entanto, a recíproca não é a mesma, ou seja, uma função pode ser contínua em um ponto, mas não ser diferenciável nesse mesmo ponto. Por exemplo, a função
é contínua em , pois
Entretanto, ela não é diferenciável nesse ponto. Se tentarmos calcular a derivada pela definição olha o que vai acontecer:
Como temos um modulo, vamos fazer os limites laterais:
Viu só? Os limites laterais não são iguais, portanto não é possível achar a derivada de no ponto e isso é suficiente para concluirmos que a afirmação é falsa.
Passo 2
A II fala sobre função inversa. Vamos então lembrar o que diz o Teorema da Função Inversa.
Sejainversível com inversaSefor derivável emcom e sefor contínua ementão será derivável em
Agora vamos lá, ver se cada condição desse teorema foi obedecida na afirmativa II:
- derivável em : OK
- : OK
- : OK
Portanto, pelo Teorema da Função Inversa, pode-se dizer com toda certeza que é derivável em e a número II é verdadeira.
Passo 3
A terceira e ultima afirmativa diz que se duas funções são descontínuas em um ponto, a função resultante da soma dessas duas funções também será descontínua nesse ponto. Essa afirmação é falsa, como você pode ver nesse esse exemplo:
Resposta
b. Apenas a afirmação II