UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.1.1
Seja uma função diferenciável tal que para todo . Determine .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar , sabendo q é uma função diferenciável e que .
Pra isso, vamos nos lembrar da definição de máximo e mínimos locais e globais. Isso porque, dada uma função e um ponto de pico de , temos:
Se for ponto de máximo, será máximo global se:
E será mínimo global se :
Vamos comparar essa definição com a nossa desigualdade e considerar máximos e mínimos locais no intervalo dado.
Vamos lá!
Passo 2
Olhando a definição, a gente percebe que a nossa função é menor ou igual a para todo no intervalo , então é um ponto de máximo local da função, naquele intervalo.
Nós encontramos os pontos críticos da função derivando e igualando a zero, certo? Assim:
Dessa forma, encontraríamos o valor de , mas como a gente já sabe que é um ponto de máximo e, sendo assim, um ponto crítico da função, teremos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉