(10) (b) Dê um contraexemplo quando f(a) = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que mostrar um contraexemplo de uma função f que seja diferenciável em a , então o modulo de f também é diferenciável desde que f a ≠ 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Vamos analisar a situação e depois demonstrar com um exemplo...

Bora lá! 😉

Passo 2

Bom... temos uma função f a que é diferenciável. Se fizermos a mesma análise para f a temos que pensar um pouco mais pois o que pode acontecer é que a função pode ir a 0 e ao invés da função seguir seu caminho convencional, ela “reflete” no eixo x e volta para y positivo.

O problema é que isso pode ocorrer de forma tão brusca que f perde sua diferenciabilidade pois os limites laterais da função divergem do valor real.

Porém pode haver casos em que essa afirmação é falsa... por exemplo, se a função não cortar o eixo x ela não irá refletir então f a = f a se f a for positiva e também f a = - f a se f a for negativa.

Por exemplo, se tivermos uma função

f a = a 2

Seu modulo é dado por

f a = a 2

Esboçando essas funções no plano cartesiano, temos

Perceba que no ponto a = 0 a função f a é diferenciável mesmo que f a = 0 em a = 0 .

Logo, toda função f a = 0 que seja diferenciável, seu módulo f a também é diferenciável desde que f a seja sempre positiva ou sempre negativa.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Toda função f a = 0 que seja diferenciável, seu módulo f a também é diferenciável desde que f a seja sempre positiva ou sempre negativa.

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