UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 10b
(10) (b) Dê um contraexemplo quando
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos que mostrar um contraexemplo de uma função que seja diferenciável em , então o modulo de também é diferenciável desde que .
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Vamos analisar a situação e depois demonstrar com um exemplo...
Bora lá! 😉
Passo 2
Bom... temos uma função que é diferenciável. Se fizermos a mesma análise para temos que pensar um pouco mais pois o que pode acontecer é que a função pode ir a e ao invés da função seguir seu caminho convencional, ela “reflete” no eixo e volta para positivo.
O problema é que isso pode ocorrer de forma tão brusca que perde sua diferenciabilidade pois os limites laterais da função divergem do valor real.
Porém pode haver casos em que essa afirmação é falsa... por exemplo, se a função não cortar o eixo ela não irá refletir então se for positiva e também se for negativa.
Por exemplo, se tivermos uma função
Seu modulo é dado por
Esboçando essas funções no plano cartesiano, temos
Perceba que no ponto a função é diferenciável mesmo que em .
Logo, toda função que seja diferenciável, seu módulo também é diferenciável desde que seja sempre positiva ou sempre negativa.
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Toda função que seja diferenciável, seu módulo também é diferenciável desde que seja sempre positiva ou sempre negativa.