UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 4b
Se é uma função diferenciável tal que e em .
b) Prove que existem e em tais que
Passo 1
Faaaala pessoal, tudo na paz?
Nessa questão recebemos algumas poucas informações sobre a função . É falado que:
Isso significa que tem como domínio o conjunto .
em
Essa informação é crucial, pois se , também é verdade que . Isso significa que no intervalo a função é sempre decrescente.
Massa!
Nesse item, o enunciado nos pede para provar que, para algum número dentro do intervalo é verdade que:
Tem um teorema bem importante que nos ajuda bastante a responder essa questão. É o Teorema do Valor médio. Ele diz que:
Se uma função é contínua no intervalo e derivável no intervalo , então existe um número tal que:
Show? Então é isso, vamos usar as informações de junto com o TVM pra provar o que o enunciado está pedindo.
Passo 2
Primeiramente vamos provar que existe um tal que:
Como falamos anteriormente, a ideia é usar o TVM. Para que não fique nenhuma dúvida, vamos juntos dar uma olhada se nossa atende às hipóteses desse teorema.
Bom, para aplicar o TVM nossa função precisa ser:
- Contínua no intervalo .
O enunciado nos fala que é diferenciável em seu domínio . Mas, como diferenciabilidade implica continuidade, também podemos afirmar que é contínua em .
- Diferenciável no intervalo .
Bom, pelo enunciado é diferenciável em . Logo, ela é claramente diferenciável no intervalo aberto .
Pronto, nossa atende às hipóteses do teorema.
Passo 3
Agora vamos aplicar na prática. Queremos mostrar que:
Se mostrarmos que essa relação é obedecida, pelo TVM mostramos que, de fato, existe um que satisfaz. Vamos então dar uma olhadinha nas informações de :
Se fizermos e , temos:
Excelente! Com isso, provamos então que existe um tal que:
Muito bom!
Passo 4
Pra finalizar, vamos repetir a ideia do passo mas agora querendo provar que existe um tal que:
Massa!
Olhando novamente nossas informações de , vem:
Assim, escolhendo e , vem:
Olha que perfeito!
Assim, mostramos também que existe um tal que:
Uhuuul! Prontinho galera, matamos mais uma questão!
Até a próxima 😉
Resposta
Resposta no texto.