Responda, justificando:

a. Se f + g é derivável em x 0 , é verdade que f e g são necessariamente deriváveis em x 0 ?

b. Se f · g é derivável em x 0 , quais condições sobre f garantem a derivabilidade de g em x 0 ?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que responder e justificar as seguintes perguntas:

a. Se f + g é derivável em x 0 , é verdade que f e g são necessariamente deriváveis em x 0 ?

b. Se f · g é derivável em x0, quais condições sobre f garantem a derivabilidade de g em x 0 ?

Então, para responder essas questões, vamos calcular as derivadas envolvidas, utilizando a regra da cadeia se necessário. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a primeira pergunta

a. Se f + g é derivável em x 0 , é verdade que f e g são necessariamente deriváveis em x 0 ?

Temos que a derivada da soma é a soma das derivadas, então

h ' ( x ) = d d x ( f   ( x ) + g ( x ) ) = f ' ( x ) + g ' ( x )

Então, se h ' ( x ) existe no ponto x 0 , temos que f ' ( x 0 ) e g ' ( x 0 ) também devem existir, pois

h ' ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) + g ' ( x 0 )

Passo 3

Olhando para a segunda pergunta

b. Se f · g é derivável em x 0 , quais condições sobre f garantem a derivabilidade de g em x 0 ?

Note que,

h ( x ) = f   ( x ) g ( x )

Então,

g ( x ) = h ( x ) f ( x )

Utilizando a regra do quociente, temos que,

g ' ( x ) = d d x ( h ( x ) f ( x ) ) = h ' ( x ) f ( x ) - h ( x ) f ' ( x ) f ( x ) 2

Então, para g ' ( x 0 ) existir, f ' ( x 0 ) deve existir e f ( x 0 ) ≠ 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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