UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 4
Se e é diferenciável, calcule e .
Passo 1
Faaaaala gente bonita, tudo tranquilinho por aí?
Nessa questão o enunciado nos falou sobre duas funções, e , dizendo que:
Isso significa que é uma função de e , enquanto é função de e de .
Além disso elas são iguais. Ou seja, podemos representar uma mesma função como dependente dos parâmetros e , ou em função de e .
Também foi falado que é diferenciável.
O nosso objetivo é calcular e .
Beleza até aqui?
Como , e é diferenciável, vale que:
Massa! Mas é função de , como podemos fazer, por exemplo:
É algum tipo de regra da cadeia?
Simmmmm, é como uma regra da cadeia. Quando temos uma função dependente de duas variáveis e queremos derivá-la em relação a uma terceira variável, fazemos:
Sacou a ideia? Então, no nosso caso teremos que fazer:
E, para a derivada parcial em relação a :
Show de bola! Então vamos lá, mãos à obra.
Passo 2
Começando pela derivada parcial em relação a , vimos que:
Que por sua vez:
Vamos calcular cada um desses termos:
é como uma constante para , assim:
Vamos pro próximo:
Novamente é como uma constante, logo:
Show!
Com as informações que temos, não conseguimos calcular nem nem . Mas, se a gente olhar direitinho, esses termos possuem algo em comum:
Pra deixar tudo em função de , podemos usar um raciocínio de regra da cadeia e escrever que:
Daí:
Ou seja:
(Pronto, agora essa relação ficou beem justificada 😊)
Como já calculamos todos esses termos, podemos voltar a expressão principal:
Substituindo as relações:
Ou seja:
Muito bomm! A primeira já foi 😊
Passo 3
Aqui vamos calcular . Vimos que:
Que por sua vez:
Então, assim como fizemos no passo , vamos calcular cada um desses termos. Mas, podemos usar também o resultado que obtivemos lá:
Que, substituindo na expressão principal fica:
Massa!
Calculando:
Agora é como uma constante, assim:
Já no cálculo de:
Novamente sendo uma constante, temos:
Substituindo na expressão principal:
Portanto:
Aeee, com isso finalizamos! Encontramos que:
Espero que vocês tenham entendido bemm direitinho.
Até a próxima, galera! Fuuui!