Mostre que se f é derivável em a e,

f'(a) ≠ 0

então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de f em (a, f(a)) é

-1 / (f'(a))

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é mostrar que o coeficiente angular da reta normal a um ponto de uma função f é dada por

− 1 / ( f ′ ( a ) ) .

Passo 2

Para fazermos essa questão vamos desenhar duas retas ortogonais no plano cartesiano

Temos que os coeficientes angulares das retas vermelha e azul são, respectivamente, iguais à

t g ( α )

e

t g ( 180 - β )

Mas usando identidades trigonométricas. Temos que

t g ( β ) = - t g ( 180 - β )

Agora, ao olharmo nossa figura, temos que

t g ( α ) = d - a b

e

t g ( β ) = b d - a

Logo, temos que

t g ( α ) t g ( β ) = 1

Portanto,

t g ( 180 - β ) = - 1 / t g ( α )

Agora, como o coeficiente angular da reta tangente ao ponto ( a , f ( a ) ) da função f é dada por

f ' ( a )

Podemos concluir que o coeficiente angular da reta perpendicular a reta tangente nesse ponto é

- 1 f ' ( a )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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