Sejam f : R → R derivável em x 0 = 0 tal que f(0) = f ′ (0) = 0 e g : R → R uma função limitada (não necessariamente derivável em x0 = 0). A função h(x) = f(x)g(x) é derivável em x 0 = 0? Exiba h ′ (0) em caso afirmativo

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se

h ( x ) = f ( x ) g ( x )

é derivável em x=0, sabendo que f : R → R derivável em x 0 = 0 tal que f(0) = f ′ (0) = 0 e g : R → R uma função limitada (não necessariamente derivável em x 0 = 0).

Então vamos calcular essa derivada utilizando a regra da cadeia!

Passo 2

Vamos derivar a função

h ' ( x ) = d d x ( f   ( x ) g ( x ) ) = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Então, avaliando no ponto x 0 = 0

h ' ( 0 ) = f ' ( 0 ) g ( 0 ) + f ( 0 ) g ' ( 0 )

sabemos que f ( 0 ) = f ' ( 0 ) = 0 , então

h ' ( 0 ) = ( 0 ) g ( 0 ) + ( 0 ) g ' ( 0 ) = 0

Como observamos, h ( x ) é derivável em x 0 = 0 , sendo h ' ( 0 ) = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

h ( x ) é derivável em x 0 = 0 , sendo h ' ( 0 ) = 0 .

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