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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.1.8b

Seja f uma função diferenciável num intervalo x = 0 . Considere a função g x = x f ( x ) .

(b) Determine o valor de f ( 0 ) para que g seja diferenciável em x = 0 . Justifique.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o valor de f ( 0 ) para que g seja diferenciável em x = 0 , sabendo que g x = x f ( x ) .

Repare que g 0 = 0 ∙ f 0 = 0 . Agora se a gente calcular a derivada de g no ponto x = 0 , pela definição , vamos ter:

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ g x + h - g ( x ) h = lim h → 0 ⁡ g 0 + h - g ( 0 ) h = g h h

Mas substituindo na função, temos g h h = h h f ( h ) . Assim, calculando os limites laterais pra quando h → 0 , pela direita e pela esquerda, vamos obter f ( 0 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de g h h = h h f ( h ) , pra quando h tende a zero pela direita:

lim h → 0 + ⁡ g h h = l i m h → 0 + h h f ( h )

Pra h > 0 , vamos ter h h = 1 . Então, aplicando o limite:

l i m h → 0 + h h f h = l i m h → 0 + 1 ∙ f h = f ( 0 )

Agora se h tende a zero pela esquerda, ele se aproxima de zero por por valores negativos, então teremos h h = - 1 e nosso limite vai ficar:

l i m h → 0 + h h f h = l i m h → 0 + ( - 1 ) ∙ f h = - f ( 0 )

Mas para que o limite exista, os limites laterais precisam ser iguais, assim a gente também garante que g ' ( 0 ) exista. Então, precisamos que:

f 0 = - f ( 0 )

E pra que isso aconteça:

f 0 = 0

Então, encontramos f ( 0 ) para que g seja diferenciável em x = 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f 0 = 0

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